Dzimusi 1943. gadā Maskavā (Krievija) un vokālo prasmju apguvi aizsāka Maskavas pilsētas Pionieru pils Dziesmu un deju ansamblī. 1964. gadā absolvēja P. Čaikovska Maskavas konservatorijas mūzikas vidusskolu, bet 1970. gadā – Valsts teātra mākslas institūta (Государственный институт театрального искусства; ГИТИС) D.Beļavskas vokālo klasi. 1973./1974. gada sezonā stažējusies operteātrī teātrī “La Scala” (Milāna, Itālija).

Visu skatuves mūžu – gandrīz četrdesmit gadus – nokalpojusi Maskavas Lielajam teātrim (1964- 2002), radīdama uz tā skatuves 35 lomas vairākās skatītāju paaudzēs To vidū tādi neaizmirstami tēli kā Pētera Čaikovska Olga “Jevgeņijā Oņeginā” un Poļina “Pīķa dāmā”, Mihaila Gļinkas Vaņa “Ivanā Susāņinā”, Nikolaja Rimska – Korsakova Duņaša un Ļubaša “Cara līgavā”, Aleksandra Borodina Končakovna “Kņazā Igorā”, Modesta Musorska Marina Mnišeka “Borisā Godunovā” un Marfa “Hovanščinā”, Aleksandra Dargomižska Laura “Akmens viesī”, Sergeja Prokofjeva čigāniete Matrjoša, Mavra Kuzmiņična, Soņa un Elena Bezuhova “Karā un mierā”, Džuzepes Verdi Ulrika „Masku ballē” un Azučena „Trubadūrā”, kā arī titulloma Žorža Bizē “Karmenā”. Viesizrādēs dziedājusi uz operteātru skatuvēm Austrijā, Francijā, Spānijā, Itālijā, Beļģijā, ASV, Austrālijā, Latvijā un citur.

Paralēli darbam teātrī veikusi plašu koncertdarbību, uzstājoties ar koncertiem lielākajās Krievijas, Anglijas, Bulgārijas, Dienvidkorejas, Holandes, Itālijas, Japānas un arī Rīgas koncertzālēs. Dziedātājas koncerta repertuārā ir Sergeja Prokofjeva, Pētera Čaikovska, Sergeja Rahmaņinova, Manuela de Faljas un citu komponistu kamermūzika, romances un operu ārijas. Vokālā duetā ar savu vīru Musļimu Magomajevu spilgti sevi pieteiksi visdažādākā žanra vokālos duetos, ieskaitot padomju dziesmas žanru.

Tamāra Siņavska sadarbojusies ar tādiem diriģentiem kā Jevgēņijs Svetlanovs, Genādijs Roždestvenskis, Marks Ermlers, Jurijs Bašmets, Mihails Rastropovičs, un Valērijs Gegijevs un Rikardo Šai.

Kopš 2005. gada veic pedagoģisko darbu un ir Valsts teātra mākslas institūta Vokālās katedras vadītāja un profesore.

Tamāra Siņavska ir Zelta medaļas ieguvēja jauno operas solistu konkursā Bulgārijā (1968), Grand pri ieguvēja jauno operas solistu konkursā Beļģijā (1969) un Pētera Čaikovska vokālistu konkursa uzvarētāja Krievijā (1970), Ļeņina komjaunatnes prēmijas laureāte (1980), PSRS Tautas māksliniece (1982) un Azerbaidžānas Tautas māksliniece (2002), kā arī ordeņa “Par nopelniem Tēvijas labā” īpašniece. Pēc sava vīra PSRS Tautas mākslinieka Musļima Mogomājeva nāves vada viņa vārdā nosaukto fondu un Starptautisko vokālistu konkursu.

2019. gadā uzņēmusies veikt sava vīra drauga Jāņa Zābera Starptautiskā vokālistu konkursa Žūrijas komisijas priekšsēdētājas pienākumus.