Родился в 1963 году. Учился в Музыкальной школе Эмила Дарзиньша, а затем изучал дирижирование оперы и симфонического оркестра в Латвийской государственной консерватории имени Язепа Витоласа (ныне Музыкальная академия) у Василия Синайского и Рихарда Глазупса. Совершенствовал свои знания у Ильи Мусина и Юрия Симонова. Он впервые присоединился к Латвийской национальной опере в 1990 году и является одним из самых опытных дирижеров этого оперного театра. С 2022 года работает фрилансером.

Нормундс Вайцис сотрудничает с симфоническими оркестрами Латвии, Литвы и Эстонии. Под его руководством были представлены и записаны новые произведения нескольких латвийских композиторов, в том числе Петера Васка, Иманта Калниньша, Артура Маската и Илоны Бреге. Многие концерты под управлением Нормунда Вайциса транслировались по Латвийскому радио и Латвийскому телевидению, а также по Еврорадио.

Нормундс Вайцис принимал участие в Фестивале виолончели Мстислава Ростроповича в Риге, оперном фестивале Верди в Национальной опере Эстонии, фестивале Далхалла в Швеции, а также фестивалях в Финляндии, Франции и Испании. Выступал в Германии, Италии, Бельгии, Польше, России, Китае и других странах.