Dzimusi Ņujorkā. Absolvējusi mūzikas augstskolu Filadelfijā (Curtis Institute of Music), kur studēja itāļu operdīvas Anna Moffo klasē. Pēc tam Fulbraita stipendija viņu aizveda uz Vīni, kur viņa pabeidza izglītību Ks. Hilde Ressel-Majdan un Anton Dermota vokālajā klasē.

Savas dziedātājas karjeras laikā viņa ir uzstājusies vairāk kā septiņdesmit piecās operu, opererešu un mūziklu lomās Eiropā (Amsterdama, Berlīne, Ķelne, Ženēva, Minhene, Vīne un Cīrihē) un nospēlējusi vairāk kā 2000 izrādes. Viņa strādājusi kopā ar tādiem diriģentiem kā Leonardu Bernšteinu, Eiženu Ormandiju, Istvan Kertescu, Gustavu Kūnu, Migelu Gomezu –Martinēzi, Helmutu Milleru – Brīlu, Hansu-Martinu Šneidtu, Sandoru Vegu, Peteri Gülku un Rafaelu Frībeku de Burgosu, dziedātājiem Plasido Domingo, Agnese Balca, Hozē Careras u.c.

No 2000. līdz 2003. gadam Klaudija Viska bija profesore Hochschule für Musik Cologne, bet kopš 2001. gada ir Vīnes mūzikas un izpildītājmākslas universitātes (Universität für Musik und darstellende Kunst Wien) Dziedāšanas un muzikālā teātra institūta (Institut für Gesang und Musiktheater) profesore. Ar meistarklasēm balss tehnikā un interpretācijā Klaudija Viska viesojusies Amerikā, Anglijā, Austrālijā, Austrijā, Bulgārijā, Čehijā, Grieķijā, Holandē, Itālijā, Japānā, Ķīnā, Norvēģijā, Polijā, Ungārijā un Vācijā. Profesores studenti ir starptautisko konkursu uzvarētāji un iesaistīti pasaules izcilajās opernamos. Viņu vidū arī Musļima Mogomajeva Starptautiskā vokālistu konkursa diplomande Aida Garifūļina.