Dzimis 1963. gadā. Mācījies Emīla Dārziņa mūzikas skolā un pēc tam studējis Jāzepa Vītola Latvijas Valsts Konservatorijā (tagad Mūzikas akadēmiaā) operas un simfoniskā orķestra diriģēšanu pie Vasilija Sinaiska un Riharda Glāzupa. Papildinājis zināšanas pie Iļjas Musina un Jurija Simonova. Pie Latvijas Nacionālās operas diriģenta pults pirmoreiz stājies 1990.gadā un ir viens no pieredzes bagātākajiem šī opernama diriģentiem. Kopš 2022. gada strādā brīvmākslinieka statusā.

Normunds Vaicis sadarbojas ar simfoniskajiem orķestriem Latvijā, Lietuvā un Igaunijā. Viņa vadībā pirmatskaņoti vairāku latviešu komponistu, tajā skaitā Pētera Vaska, Imanta Kalniņa, Artura Maskata un Ilonas Breģes jaundarbi un veikti to ieraksti. Daudzi Normunda Vaiča diriģētie koncerti translēti Latvijas Radio un Latvijas Televīzijā, kā arī Euro Radio.

Normunds Vaicis piedalījies Mstislava Rostropoviča čello festivālā Rīgā, Verdi operu festivālā Igaunijas Nacionālajā operā, Dalhallas festivālā Zviedrijā, kā arī festivālos Somijā, Francijā un Spānijā. Koncertējis Vācijā, Itālijā, Beļģijā, Polijā, Krievijā, Ķīnā un citviet.